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　　你现在看到的我朝 初等教育数理化教材基本上都是70年代末80年代初从国外引进后再慢慢本土化的，越是靠近那个年代的老教材，你越看越会有你现在看到的外国高等教育教材的感觉；反而越是新的则是本土化的越厉害但根子没有大变，所以初等教育不会有明显的不适感。我至今都记得小时候在长辈家看到的高中数学甲种本教材是如何一步一步深入浅出 把弧度制，反三角函数的定义 这些概念性的东西进行介绍和落地的；等到自己高中的时候，反而觉得手中的课本的介绍方式，是很难把这些一般人用不上的概念，以高考为杀威棒强推给对数学没啥兴趣的学生去理解的。参考：

　　而大部分高校的高等教育教材，由于写书是教授们的KPI甚至申请课题经费和基金的重要理由，在多数学校基本是货线%国产货（可能会在习题和细节上对其他教材有参考，部分top学校的学子也不用和我抬杠）。然后由于考研的政策或大纲的双向绑定（ 考题会参考这些教材，教材则要易于应考考研参考书目_考研指定教材 - 中国考研网），学校、老师、上级们的人情与金钱绑定，最后就留存下来了一批生命力极强，但是没有经过充分的竞争和消费者选择的”经典教材“-------这样产出的教材质量其实可想而知，请用你在其它民用领域的经验去想象。

　　可能”知识的维度“这个我生造的术语，没多少人听说过。我举个例子：如果一个中学生，因为一直复读把一门课程的教材内容反复学10年，能够到该中学任教该门课程么？相信如果你的小孩在这里上学，一定心里会打鼓吧。。但是你具体怕的是什么呢？好像是不是又说不清楚？

　　所谓知识的维度，就是你能有多少其他看起来和这个知识无关 但是能辅助你从更高的观点去理解的知识储备，然后以最合适的方式”投影“到这个低维的知识位面去讲解这个知识的来历，概念，证明，运用。这是一些你学生在课堂学习中能享受到但很难学到的知识：3维世界的视角下任何2维平面的东西都藏不住自己的任何秘密，高维视角可以碾压所有低维问题。

　　举一个初等教育的例子，解一元二次方程可以认为是9年义务制数学教育中的一个大门槛，对于数学没多少兴趣的学生而言，”配方法“绝对是远超过他们已有思维方式的推导过程，如果不理解推导过程强记一个复杂的公式则更是折磨。作为一个老师你该怎么做才能有效的辅助学生迈过这个门槛呢？我的看法是：

　　认知这个知识点在整个教学课程中的意义，并且能够理解这个知识点的理解与认知方法，是和课程前面所有的知识点都有很大区别的，多数学生不一定能在一次学堂课时中顺利理解：

　　如果是一个有足够多数学积累的老师，这时候就会呵呵一笑：都是现代人了，还需要用一千多年前花拉子米的那种笨办法来发明方程求根公式？咱们直接用”群论之母“ --拉格朗日预解式，通过方程根的对称性，把问题转换成求解一个学生已经很熟悉的二元一次方程组就行了

　　\begin{cases} \begin{array}{ccc} x_{1} & +x_{2} & =?\\ x_{1} & -x_{2} & =\pm?? \end{array}\end{cases}

　　这时候发现：哎呀，教材都还没说这个方程可能会有2个根就直接开始讲推导过程，是不是太具有跳跃性了啊？不行，我要先结合因式分解和重新展开，（不严格的）说明清楚二次方程它有2个根

　　；然后在因式的这个展开过程中介绍维达定理，然后说明用维达定理中的表达式不仅可以表达

　　(x_{1} -x_{2})^2=(x_{1} +x_{2})^2-4x_1x_2

　　第三步，把高维知识投影到低维框架，重新组织它在这个低维下的知识有效表达方式，以及和其他表达方式在低维视角的关联

　　有了这层铺垫之后，再顺带着把配方法也推导介绍一次；然后说清楚2种方法为什么能殊途同归，它们之间的联系和关系是什么：这下求根公式里面出现2个相同的根可以理解了吧？判别式

　　是什么这下理解了吧(以及为什么我们这么重视它，专门塞给它一个符号)？.... :

　　最后一步，趁热打铁，把低维知识的不同表达之间的联系，用已有的低维知识和教材叙述中进行阐明。

　　认真如你，看到这里，有啥感想呢？把1门课程学10遍，拿着课本上课，就能做一名游刃有余 优秀的中学教师么？相信你明白啥是知识的维度了吧。我用一个词来描述就是：

　　反过来，作为教材编撰者，如何尽可能好的去配合老师讲好这一课呢？是不是得类似上面的这套流程，去把老师当学生，去思考老师在授课过程中遇到的问题，然后站在更高一个维度去帮助老师们克服障碍呢？

　　我们再举一个高等教育的例子。“线性代数”这门课程可以认为是初等教育和高等教育之间的一道分水岭，LOL赛事押注第一部分授课内容行列式和第二部分的“矩阵”就可以把多数人给打晕，因为很多学生一直以来的学习利器“画图形象化”这一招开始不灵了：整门儿课程就是讲任意维的东西的，很多东西还在n维和m维之间变换，你能在一个二维平面上画的出来这个过程（哪怕用软件画动画）？你能想象得了高维世界 一个运动（矩阵乘法变换）有可能可看成同时绕着多于1个轴（具有多个特征向量）转？换而言之，不再去讲二维世界 三维世界，也不再去讲二次方程 二元方程，全都是讲n维世界，m元方程了，你还能把每个知识点，都搬到我们的三维世界去理解么？ 简而言之，人类在探知自己一些“看不见的世界”的知识时，传统认知自然规律的一些学习方法，在这一刻已经到达了它能够适用的范围的极限！马上你就必须对“形象”二字的使用得从“几何”延展到“代数”了LOL赛事押注！是的，用初等一点的代数去“形象”理解高等的代数~~而行列式和矩阵，，还算是能用稍微几何一点的方法去形象化理解的内容~

　　（题外话：吐槽一下市面上一些自称能帮你“形象化”理解线性代数课程的讲解或视频，，用一些你很亲切和熟悉的词汇和图（如同中医一样），让你盲人摸象似的感觉好像懂了一部分知识点（感觉局部症状好多了），，但是能讲出这些知识点的联系么？如果只是为了辅助表达一些图形学的3维变换概念，体积的表达，解一解方程组，有必要花费几十个课时来设这样一门人见人厌的课程么~~虽然考研数学试卷为了方便考核，确实矩阵和行列式永远就那么大一点~~）

　　的意义，并且能够理解行列式这个知识点的理解与认知方法，是和学生过去所有的知识点（甚至包括只讲2重 3重积分的高等数学课程）都有很大区别的，多数学生不一定能在一次学堂课时中顺利理解：

　　如果是一个有足够多数学积累的老师，这时候就会呵呵一笑：都是现代人了，还需要莱布尼兹时代求解方程组的方式来认知行列式这个概念？直接看成是所有列的外积的结果！除了外代数乘法交换律(

　　什么？教材里还有“逆序数”这怪物？ 那就先不要引入行列式归一化后的公理化标准定义，而是把二阶行列式的计算增加一个1/(1*2)因子，让二阶行列式的值变成是2个列向量夹成的三角形(而不是向量平行四边形法则弄出来的四边形)的面积；三阶行列式的定义增加一个1/(1*2*3)因子，让三阶行列式的值变成是3个列向量夹出来的三棱锥的体积。然后引导学生理解怎么把1*2个三角形“堆叠”成平行四边形，(1*2*3)个三棱锥“堆叠”成平行六面体，以类似外代数的方式去递推和理解这个过程中逆序数n!个排列的出现；并用三角形外加一点去围一个三棱锥，用这个过程中的“升维”引导学生去理解如何用二阶行列式表达三阶行列式，这个过程中逆序数的奇排序是怎么给3个三角形的面积，弄出来外积交换乘法就会产生的负号的：

　　第三步，把高维知识投影到低维框架，重新组织它在这个低维下的知识有效表达方式，以及和其他学生最易理解的表达方式在低维视角的关联

　　中间那个点先可以看成在大的三角形内，然后把它想象在另外一个高度为1的平面中，三棱锥就来了，并且可以思考三棱锥体积和这几个三角形面积之间的关系

　　...哎，看到这里是否觉得有点倦了？感受到写一份好讲易懂的高等教育基础课程教科书的难度了吧？容易理解越是在高精尖领域，我朝为啥越容易和老外拉出来难以追赶的差距了吧~

　　天外有天，人外有人。那么对于最前沿 最新发现的知识，老师和教材还能做到超出一个维度么？

　　当然不能教程知识。所以当你读到博士学位的时候，往往会发现，你的导师和你在讨论最前沿的科学问题的时候LOL赛事押注，往往已经不存在传统意义上的师生授课关系了，而变成了科研合作关系了：他可能就比你早知道某些知识几年或几个月，但是要说高出一个维度那往往没有，，是不是有点像3年级学长啦？

　　同理，在这些最前沿的学科问题，教材那就更不太可能存在了，基本都只能让你去看论文， 看综述。当然部分有积累的教授手里也许还有质量很高的讲义（notes）: 如果你多去看看这些老外偶尔公开的专业讲义，你可能会更悲叹一个学生在国内读博和国外专注做学问的顶尖教授下读博 成长的效率差距，进而感慨为啥初等教育下那么出彩的国人学子，在高等教育时和美国的平均水平(勿杠)的差距 从大一、大二....博一 博二.....一日千里的被拉大......

　　你感受到的大学教材烂，而中小学教材好像不烂，是有历史原因的；而这些原因的改变，从深层来看，需要付出相当多（也许是好几代人）的努力的。